適応信号処理とは、文字通り、環境や情況の変化に応じて適切な処理を自動的に行うこと。受信信号の変化に応じて、フィルタ係数を動的に変化させたり...
例えば、航空機に内蔵される速度計や高度計といった計器類に、GPS などの外部情報を連携させ、誤差を補正しながら刻々と変化する位置情報を推定していくような自動操縦システムがある。環境変化への適応と未来を推定する能力では、人間という生命体もその一例といえよう。
こうしたシステムでは、リアルタイム処理が要求され、そのまま演算量が問題となる。本書は、カルマンフィルタ、最小二乗法、確率勾配アルゴリズムなどを題材に、様々な推定アルゴリズムについて解説してくれるが、なによりも実装の視点からの数学のテクニックに注目したい。
例えば、状態方程式、すなわち差分方程式と行列式との相性を軸に、転置行列で演算量をごっそり削ったり、共分散行列で分布領域をざっくり推定したり... と、演算量の軽減と推定誤差を最小にする戦略が注視される。
ただ、数式の記述がすこぶる丁寧なのは前戯好きにはありがたいが、ちとしつこい気もしないではない。もう少し視覚的な情報があると、さらにありがたいのだけど...
まず、状態方程式にガウス分布、いわゆる正規分布を想定し、条件付きのもとでベイズの定理による状態推定モデルが提示される。この時点で、最小二乗法や確率勾配アルゴリズムの登場を匂わせるが、とっかかりはカルマンフィルタの有効性から...
「状態方程式が線形差分方程式で表される線形離散時間システムの状態変数の推定、すなわち状態推定を行うためのフィルタとしてカルマンフィルタがよく知られている。カルマンフィルタを適用すれば、状態方程式および確率変数の統計量が既知のとき、与えられた制約条件のもとで平均 2 乗誤差を最小にする最適な推定値を得ることができる。」
大まかに言えば、こんな感じであろうか...
状態方程式には前状態にカルマンゲインが加味され、カルマンゲインには観測誤差と推定誤差が加味される。それぞれの誤差にはノイズが含まれ、観測値と推定値が完全に一致すれば補正の必要はないが、そんな理想的な状況は考えにくい。そこで、前状態から現状態への移行分布と、その推定確率が問題となる。現状態が前状態に引きずらるなら、初期値の与え方も問題になろう。そして、状態方程式だけでなく、カルマンゲイン、観測値、推定値のすべてが方程式で記述され、これらの連立方程式がそのまま行列式に対応づけられる...
カルマンフィルタの性質としては...
カルマンゲインは、状態推定値に関係なく再帰アルゴリズムによって計算できるという。状態推定の計算とカルマンゲインの計算が分離していることが、一つの特徴だとか。そして、状態推定の平均二乗誤差を最小にする戦略が語られていく...
そもそも、カルマンフィルタは線形離散システムを想定し、与えられたパラメータをもとに状態推定を得るアルゴリズムであるはず。
しかし、必要なパラメータが欠けていても、そのパラメータをも推定しながら状態推定を得るものに「適応カルマンフィルタ」があるという。
さらに、非線形離散システムにおいても、「拡張カルマンフィルタ」や「アンセンテッドカルマンフィルタ」といったものが導けるとか。適切な近似が与えられれば、だろうけど。結局、近似法との組み合わせが鍵ということになろうか...
0 コメント:
コメントを投稿