"位相のこころ" 森毅 著

"こころ" ってなんだぁ！

数学の概念を形而上学風に語ろうとでもいうのか。どうやらそうらしい。

客観性では他を寄せ付けぬ学問！こいつを思いっきり主観で物語ってくれるとしたら、愉快！愉快！数学教育や現代数学への批判ばかりか、達人の愚痴までも聞こえてきそう。"こころ" という表題は、あまり形式にとらわれず、自由な思考をという思いの表れか...

さて、位相とはなんであろう。

それは「"近い" という日常感覚を数学的に厳密にとらえ直したもの」だという。ここでは代表的な数学の構造に、代数構造、順序構造、位相構造の三つを挙げ、代数構造は演算の法則性を、順序構造は比較の法則性を定式化するのに対し、位相構造は近似の法則性を記述したものだとか。

数列や関数において、何かに限りなく近づこうとすれば、「収束」という概念が見えてくる。本書は、連続性、極限、収束につながるキーワードに、閉集合、近傍、コンパクト、全有界、一様空間といったものを巡り、近似の真の像に迫ろうとする。

ブルバキあたりが強調する極限概念は、なんらかの意味で連続関数と結びつけられる。数列の収束は単純収束、すなわち各点収束を考えればいいが、関数列となると一様収束が絡んでくる。一様とは、定義域が関数列全体に満遍なく行き渡るということ。

離散的な視界が連続的な視界へ広がっていくと、無限との親密性が見えてくる。無限を相手取れば、集合論と結び付く。順序関係から極限に迫れば、フーリエ級数や、あの忌々しいε-δ論法との親密性も。位相空間とは、集合論に位相概念を加味したもの、という見方もできよう。位相群ってやつが、それか...

「位相の導入は、関数列のいろいろな収束から始める方がよい... 歴史の上では、関数列についてのいろいろな収束がいろいろな位相を自立させ、それが同時に、その位相の適合するいろいろな関数空間を実体化させていった。それはちょうど、幾何学において、いろいろな幾何がいろいろな変換群を自立させながら、いろいろな空間を実体化させていった歴史に対応する。」

本物語の筋立ては...

まず、「閉集合」の意義が唱えられる。定義域が閉区間であることは、境界が明確であることを意味する。境界が明確だということは、極限が存在するということ。

次に、「近傍」の概念で、ガウスがどのような見方をしたか、その思考プロセスが紹介される。近傍の良いところは、局所的にイメージできること。

これに、「コンパクト」という概念を絡ませて、収束列の像を探るといったイメージ。

コンパクトは素性の良い定義域を与えてくれるという。その基本性質は、有界閉集合であること、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理やハイネの定理を満たすこと、等々。

コンパクトの有限性の一つの表現が「被覆定理」だという。被覆とは、定義域をいかに部分集合の和で包み込むか。全有界は、有限個の部分集合によって覆うことが出来る。素性の良い部分集合の集まり全体を覆い尽くすことで、一様構造らしき風景が見えてくる。これがコンパクト空間というものらしい...

「コンパクトの有限性のもうひとつの表現が被覆定理である。」

また、近傍とコンパクトで定義される領域を円環イメージで捉えることによって、「距離」という見方が提示される。

極限からの距離を円環の半径と見れば、ガウスの定理やストークスの定理にも通ずるものがある。本書では触れられないけど、電磁気学で赤点だったおいらには、どちらも忌々しい法則として記憶に刻まれる。それは、ある定義域におけるベクトル場の体積積分と面積分の関係、あるいは、その閉区間を境界とする曲面上の面積分と線積分の関係を記述したもの...

位相構造を理解する上で、コンパクトが中心概念であることは確かなようである。積分論には一種の対応原理があって、「局所コンパクト空間 ≈ 完備距離空間」といった形式で、局所コンパクト空間上の積分を完備距離空間上の積分に見なしたりもする。

しかしながら、コンパクトは概念であって定義ではないという。定義が明確でないということは、位相空間論ってやつは尚も掴みどころがないってことか。どうやらそうらしい。

だから、位相の "こころ" ってかぁ...