"自然界の秘められたデザイン - 雪の結晶はなぜ六角形なのか？" Ian Stewart 著

原題に、"What Shape is a Snow Flake? : Magic Numbers in Nature..." とあるように、この物語の主役は雪である。イアン・スチュアートは、雪薄片ができる過程に根源的な自然法則を追い求める。副次的なモチーフでは、砂丘や波、貝殻の構造、植物の成長パターン、動物の模様などを持ち出し、さらに、DNA、素粒子、ビックバンにまで及ぶ。科学を外観していく道標は、螺旋の渦に引き込まれるがごとく... それは、単純化からカオスへ、さらにはフラクタルな世界へいざなう数学の旅としておこうか...
規則性と不規則性、秩序と無秩序、意味ある単純さと無意味な乱雑さ... こうした関係は相性が悪そうだ。しかし、ちょいと見方を変えると、こいつらが調和しているように見えてくるから自然ってやつは偉大である。それは、二つの対称性を暗示している。普遍性と多様性という名の...
「降りしきる雪の結晶を顕微鏡で覗いてみると、みな同じようでありながら、それでいてどれとして同じものはない。正六角形のようにも見えるが、よく眺めると木の枝のように複雑だ。単純な規則に支配されているように思えるのに、無限の多様性と複雑さを秘めた雪の結晶の美しさは、どうして生まれるのだろうか？」

科学には、一つの宗教原理がある。それは、どんな複雑な現象にも必ず根本的な法則が潜んでいるはずだ！という信念だ。ポール・ディラックは言った...神は数学者である... と。単純化された物理法則は、数学の美を醸し出す。その美は、対称性が内包されてはじめて感じられるものだ。
しかしながら、物理学者たちは言う... 宇宙は対称性の破れから生まれた... と。だとすると、宇宙の住人が対称性の失われた物理現象に度々出くわすのは、むしろ道理であろうか。ある物理現象に対して厳密な方程式が提示できれば、明解な予測パターンが決定できる、と誰でも考える。だが、カオスが提起する問いかけは予測過程そのものにあり、現実に、規則が単純でも予測の難しいものがある。例えば、サイコロがそれだ。ある大科学者は言った... 神はサイコロを振らない... と。酔いどれ天邪鬼には、神ほどギャンブル好きはいないように見える。実際、あらゆる選択は確率で決定されているではないか。歴史にせよ、進化にせよ、人生にせよ。人間の存在目的は何か？それは神の意志か？などと問うても答えられるはずもない。そもそも自分自身が、どこへ向かっているのかも分からないでいる...
「今日でさえ、自然法則の最新版が真実だと思いこんでいる物理学者は多い。過去の試みはおおよそのことしかとらえられなかったけど、今あるものは何の誤りもないのだと。彼らのいうとおりなのかもしれない。だが、歴史を振り返ればそうではないことが垣間見えてくる。」

人間は、何かの存在を認めた時、そこに合目的なるものを求めてやまない。神は無駄が大っ嫌いなはずだ！と。そして、自分自身を意味ある存在だと信じずにはいられない。それは、自己存在に自信が持てないことの裏返しであろうか...
人間がある存在を認めるには、空間の存在を前提する。まず、宇宙がそれだ。では、宇宙空間に物質が配置される方法には、なんらかの合理性があるのだろうか？天体間の距離はどうか？宇宙空間に対して、天体の数は適当であろうか？人間関係の距離はどうか？地球の表面積に対して、人間をはじめとする生物の数は適当であろうか？
空間合理性を問うた数学の難題に、「ケプラー予想」がある。ケプラーは、三次元空間に球を最も効率よく詰め込む方法は面心立方格子構造であると主張した。二次元空間で言えば、六方配置が最密充填になると。この偉大な科学者は、「六角形の雪片について」という本を書き、太陽系の惑星の数も六つあると主張した。まさに雪の結晶は六方配置をとる。
ただ、三次元空間では、1つの球に12個の球が接吻する形になるわけだが、球同士でわずかに動ける余地がある。このわずかな隙間が、無限空間のどこかに、13人目とキスできる運のいいヤツがいるのではないか？と問われた。そして四百年もの間、こんな小学生でも知ってそうな答えを証明できないのか！と数学界の汚点とされてきたのである。四百年前といえば、科学はまだガリレオの望遠鏡に宿るかすかな光でしかなかった。結局、そんな運のいいヤツがいないことを、コンピュータが答えることに...
現実に、自然界はわずかな柔軟性をもっている。ダーウィン風に言えば、生物は一つの種から実に多彩な分岐によって進化を遂げた。プラトン風に言えば、かつて純粋な精神の原型なるものがあって、それぞれに無知の知を覚醒させて今に至った。カオスとは、単純法則にわずかな融通性という調味料が加味された結果であろうか。無数の原子が集まって人体を形成すると、一つの人格を生じさせる。無数の人間が集まって社会を形成すると、個人ではどうにもならない独立した集団的意思を生じさせる。雪の結晶にしても、H₂O という単純な分子の集まりでありながら、実に多彩な自然美を魅せつける。自然界のデザインには、「単純な基本法則 + わずかな柔軟性」という法則が満ちているようである。
但し、人間社会の合理性が、自然合理性に適っているかは知らん...

1. マジックナンバー "6"
二次元空間を同じパターンで埋める基本的な図形といえば、すぐに正三角形、正方形、正六角形を思い浮かべる。ここには、幾何学的な法則がある。それは、内角の角度が、360度の約数になること。正三角形は、60度(= 360/6), 正方形は、90度(= 360/4), 正六角形は、120度(= 360/3)。正五角形では、108度で隙間ができ、結局この三つのパターンに収まる。
中でも、"6(= 1 + 2 + 3)" は、三角数であり完全数。ピュタゴラス学派は、この数を崇めた。真円(360度)と相性のいい回転対称性には、何かが宿っているのだろうか。画家マウリッツ・エッシャーの「天使と悪魔」の図形にも、何かが取り憑いているような...
ゲーテは「色彩論」の中で、赤、菫、青、緑、黄、橙の六色からなる色相環を唱えた。光現象をプリズムによる波長で観察するだけでは、色の循環性という発想にはなかなか至らない。
さらに、昆虫の世界に目を向ければ、蜂の巣が六角柱を形成し、幼虫や蜜の保管庫になっている。六角柱は、密集住宅を効率的に埋め尽くす最適な形である。蜂たちはどの場所からも一斉に共同作業が始められ、それぞれの担当場所で適当につなぎ合わせることができるという点でも、分業効率性を具えている。人間の住宅のように設計者も現場監督も不要で、人間社会のように政治家も不要というわけだ。蜂は社交性の高い昆虫と見える。この隙間のない空間合理性は、本能的に組み込まれているのだろうか？
では、雪の結晶ではどうだろう。ここでも、いたるところに、60度と120度が顔を出す。水の分子が周囲の冷たい気団に触れると、あらゆる方向に満遍なくエネルギーが分散した結果として、離散的に枝分かれするというのか...
「雪の結晶には6回の回転対称性があり、60度ずつ回転させても形が変わらない。また、6方向に対して鏡映対称性も示す。万華鏡は鏡映対称性を利用して対称性の高い模様をつくりだす。2枚の鏡を60度の角度に固定して万華鏡に入れると、6回ではなく3回対称に、また6方向ではなく3方向の鏡映対称になる。」

2. 最小エネルギーの法則
結晶学にとっても、"6" は、魔法の数字だそうな。二次元か三次元で格子となりうる回転対称形のうち、回転できる回数の最も多いのが六回対称だという。
三次元空間では、すべての面が同じ正多角形で構成される形は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五つしかない。そう、プラトン立体だ。これらの図形は、何回回転させれば、元の図形に戻るか？正四面体は、二、三回の回転対称をもち、正六面体と正八面体は、二、三、四回の回転対称をもち、正十二面体と正二十面体は、二、三、五回の回転対称を持つ。
ただ、結晶学における有名な制約に、「五回対称を禁ずる」というものがあるそうな。正十二面体と正二十面体の結晶構造は、絶対になりえないというのである。
しかしながら、正十二面体と正二十面体の方にこそ、なんとも言えない数学の美を醸し出す。例えば、柘榴石の結晶は、菱型十二面体の構造をとる。同じ十二面体でも、正十二面体ではなく菱型十二面体ならば、自然界のデザインに適うのだろうか？自然界は、人間の目には規則的に見える正多面体よりも、やや偏っている偏方多面体の方に目を向けるのだろうか？いや、人間の精神が偏っているとすれば、人間の目に見える正多面体の方が偏っているのかもしれない。
もし仮に、あらゆる方向にエネルギーが等価に分散されるとしたら、なるべく球に近い多面体を選ぼうとするだろう。球では純粋すぎて安定感に乏しい。物質は自己存在の確証を欲しがっているのだろうか？
一方で、雨粒は表面張力に引っ張られて、エネルギーが最小になるような球体を好む。天体の世界でも球体が主流だ。ただし、真円ではなく、これまたわずかに歪んだ楕円を選ぶ。真空などの環境で直接接触しなければ、多面体よりも丸まっている方が居心地がよさそうだ。社会という限られた空間にあまりにも多くの人間をぎっしりと詰め込むから、ぎくしゃくする。周囲のことをあまり気にしなければ、無理に角張る必要もなかろうに。鍛錬を積めば、人間の心も丸くなるらしい。
おさまりのいい関係を求めるという意味では、自然は倹約家のようである。宇宙には、最小エネルギーの法則でも働いているのだろうか？無駄な努力を削り落とすような...

3. 自然界のわずかな偏り
自然界には、重力、電磁気力、強い力、弱い力という四つの基本的な力がある。重力はエネルギーを持つものの間で働く力、電磁気力は電荷のあるものの間で働く力、強い力はクォーク間で働く力、弱い力は中性子のベータ崩壊などを起こす力。物理学者たちは、この四つの力における統一理論を構築しようと夢見てきた。
しかし、弱い力だけは、どういうわけか例外的な作用をする。量子力学におけるスピン構造には、非対称性が宿る。人体にも、表面的な左右対称性に対して、脳機能や臓器配置に非対称性が見られる。
地球上の生物においても、DNA の螺旋構造は一般的に右巻きだと言われる。一つの種に、右巻きと左巻きが混在するのは望ましいことではないだろう。少なくとも有性生殖の生物にとっては。DNA の巻き方向が同じでなければ、遺伝子複製が極めて起こりにくく、子孫を残すことも難しくなる。
気象現象においても、コリオリの力が働き、北半球と南半球で台風やハリケーンの渦巻く方向が反対になる。
自然界を取り巻く弱い力によるほんのわずかな非対称性が、柔軟性や多様性をもたらしている。自然美には、均衡と不均衡の微妙なバランスが欠かせない。天体軌道のほとんどは、真円よりも楕円を好むし。完全ってやつは、自己存在を主張するものにとって居心地が悪いものらしい。だから、完全な神は自己主張もせず、ひたすら沈黙を守っておられるのか。ヴォルフガング・パウリは、こう言ったそうな。
「神は軽い左利きである。」

4. 近くの強化と遠くの抑制
時間的成長と空間的成長を見事に再現する物語に、貝殻の成長過程がある。軟体動物の身体を保護しながら、なおかつ成長に合わせて合理的に貝殻を建設していくとしたら、どういう形が適切だろうか。アンモナイトなどが「対数螺旋」の形をしているのは、どうやらそのためのようだ。カタツムリの殻には右巻きと左巻きがあるらしく、遺伝子で決まるという。しかも、この螺旋構造にフィボナッチ数が現れる。そう、黄金比ってやつだ。ヒマワリや松ぼっくりにも、種子の成長に合わせてフィボナッチ数が現れる。数学的にも、スケールの連続変化を相似変換すれば、黄金比で描くのがやりやすい。成長過程に見られる黄金比は、等間隔に無駄なく詰め込もうと意図されたものであろうか...
しかしながら、中心点から遠ざかるほど、物理的な歪、すなわち誤差を拡大させる。数理生物学者ハンス・マインハルトは、貝殻の図式をこう説明したという。
「近くを強化して遠くを抑制する。」
彼の理論によると、抑制因子は活性因子の七倍の速度で広がらなくてはならないという。近くを活性化する因子と、遠くを抑制する因子のせめぎあいは、空間的に、時間的に遠いほど後者が優勢になっていく。
人間社会でも、領土が拡大して多民族性が増すほど支配力を強めたがるもので、民主主義の機能しやすい規模というものがあるのだろう。あらゆる組織の発足当初は、おそらく純粋で志の高い動機から始まったに違いない。だが、時間が経つに連れ、徐々に脂ぎった動機が混入してゆき、やがて官僚化や硬直化の道を辿る。だから、常に改革の目という抑止力を求める。
あらゆる成長過程を説明する際、時間と空間という物理量の組み合わせは非常に都合がよい。ア・プリオリな概念に時間と空間を位置づけたカントと、時空の概念を持ちだしたアインシュタインは、やはり天才と言わねばなるまい...
「軟体動物のオウムガイの殻... いくつものカーブした小部屋に仕切られていて、その小部屋は貝殻が渦を巻くにつれてサイズが大きくなっていく。殻全体は完璧な対数らせんを描く。なかの生物がどうやって殻をつくるか、また殻がどのように成長するかを理解するうえで、この数学的なパターンが手がかりになる。」

5. セル・オートマトン
新たな数学体系の一つに「セル・オートマトン」というものを紹介してくれる。ある種のコンピュータゲームである。最初は、色のついた一個の格子(セル)からスタートし、ゲームの一手が進められる度に、決められた規則によってセルの色が変化していく。例えば、一個の赤いセルが、三個の緑のセルと五個の黄色のセルに囲まれたら青に変える... といった具合に。
プログラムを走らせて結果を得ることは容易だが、その結果に納得のいく説明を与えることは極めて難しい。初期条件が違うだけでも、まったく様変わりする。そのために、生態系のモデルとしてよく利用される。複数の色に動物種をあてはめてみるといった具合に...
そういえば、同じような原理に「ライフゲーム」がある。数学者ジョン・ホートン・コンウェイが考案したやつだ。こいつも、黒と白のたった二色と短い三つの法則のみで成り立っている。こうした事例は、たとえどんなに規則が単純で明解であっても、結果予測が不可能なことを示している。

6. 平均特性の統計的な対称性
数学においても、「複雑適応系」という、いかにも社会学的な用語を目にする。複雑さがある臨界点に達すると、想像もつかない状態になりうる。連続的エネルギーの蓄積が、突然爆発して離散的現象として現れるような。大洪水、火山の大噴火、建造物の倒壊、市場のパニックなど、あるいは突然変異や新種の出現もこの類いであろうか。臆病な動物が恐怖心から突然攻撃的になったり、あるいは、開き直り、覚悟、開眼といった現象も...
「カタストロフィー理論」という用語も耳にするが、あまり好まれないらしい。カタストロフィーは大災害や破滅を意味するので、最近は「分岐」という用語を使うという。もはや複雑系を扱うには、確率論や統計力学に縋るしかないようである。
ただ、対称性の破れを説明しようとすれば、安定性という要素も考慮しなければならない。それは、そもそも物質はどこへ向かおうとしているのか？と哲学的に問うているようでもある。対称性を破るから不安定になるのであって、やはり矛盾しているようでもあるのだが、成長や変化の過程がある限り、この矛盾からは逃れられない。仕事中の気分転換もまた、適当な不安定に身を委ねることを意味するのかもしれない。
さて、H₂O という分子には、重要な分岐点が二つある。凝固点と沸点は、固体、液体、気体の三状態に遷移させる。相転移ってやつだ。雪の結晶もまた、環境条件による一種の分岐によって生じる。相転移を解析するモデルに、統計力学には「イジングモデル」というものがあるそうな。物理学者エルンスト・イジングに因む。平面上の四角い格子を用いて、それぞれの頂点は上か下の状態をとる。この選択肢は電子のスピンの向きを表すという。隣り合った二個の頂点は互いに影響し合い、各電子のスピンの向きは隣の電子のスピンの向きに左右される。スピンのパターンは、臨界温度に達すると唐突に変化する。一つが決まれば、他の向きも決まるわけだが、一斉に決まるとすれば、それは全体的な分岐である。
本書は、こうした一斉に分岐する現象を、「平均特性の統計的な対称性」と呼んでいる。現実に、同じ炭素原子でありながら、最も硬いダイヤモンドから最も柔らかい部類のグラファイトまで、実に多種多様な同素体が存在する。結晶構造では、対称性の種類が異なるとエネルギーも異なり、そのエネルギーは圧力と温度に左右される。そして、重要な変化は離散的な分岐として現れ、主要な性質の変化が突如として起こる。
ある環境条件を境界に、集団的に、しかも一斉に性質が変わるとは、情報によって社会全体が扇動されるがごとく。カオス理論では、途轍もない影響を発揮する可能性について「バタフライ効果」という用語もよく耳にする。昔の人はよく言ったものだ... 風が吹けば桶屋が儲かる... と。
あらゆる現象は、もはや個々の性質だけでは説明できそうにない。個の対称性から集団の対称性へと目を向けなければ...