おいらの ToDo リストには、何十年も前から居座ってる奴らがいる。大作であるがゆえに... 難物であるがゆえに...
それにしても、気まぐれってやつは偉大だ！心の中に蔓延る因習を、チャラにしてくれるのだから。
おまけに、こいつぁ、一度ハマっちまうと、今度はかっぱえびせん状態ときた。765 ページもの厚さが、読み手を熱くさせやがる...
尚、野崎昭弘、はやしはじめ、柳瀬尚紀訳版(白揚社)を手に取る。
通称、GEB...
それは、論理学者ゲーデル 、画家エッシャー、音楽家バッハの頭文字をとったヤツで、広く知られる数学の書である。主題は、不完全性定理をめぐる思考原理、いや、精神原理と言うべきか。
各章の導入部ではアキレスと亀が自由に語り合い、ルイス・キャロル風の遊び心を演出する。どうせなら、アリスにも登場してもらいたいところ。そうすれば、不思議の環を一段と愉快な不思議の国へと導いてくれるであろうに。
ゼノンが提示したアキレスと亀の競争原理では、それぞれの歩調が同期してパラドックスへと導く。そう、永遠に追いつこうとするということは、永遠に追いつけないことの証明なのだ。まさに微分学の美学。
アキレスと亀の対話は、まるで禅問答。永遠に答えの見つからない再帰的議論が、論理形式を超えたフーガを奏でる。バッハにとっての対位法への理解が、人間の理解力を前提にしたものかは知らんが...
「本書は、風変わりな構成になっている。対話劇と各章とが対位法をなすのだ。この構成の目的は新たな概念を二度提示できることにある。新たな概念のほとんどすべては、まず対話劇のなかで比喩的に提示され、一連の具体的で視覚的なイメージを生み出す。そしてそれにつづく章を読んでいるうちに、それらのイメージ、同じ概念のもっとまじめで抽象的な提示の直観的な背景となる。対話劇の多くで、うわべはある一つの観念を語っているかのようであるが、しかし実はうっすらと偽装しつつ、別の観念を語っている。」
ところで、フーガを聴くには、悩ましいところがある。全体を一緒くたに味わうか、各部を区別しながら味わうか。全体論と還元論の対位法とでも言おうか。フーガは、カノンと似たところがある。一つの主題がいくつも形を変えながら出現し、それぞれが独立しながら調和する。ある時は異なるテンポで... ある時は音程を逆さまに... ある時は逆向きに... ぶつかり合う個性が絡みに絡むと、その総体には、元の主題とは別の主題が浮かび上がる。
こうした形式アルゴリズムには、フーリエ変換の近似法を連想させる。基本要素は、三角関数の sin と cos のみ。二つの単純な波が、周波数を変え、振幅を変え、時間遅延を加え、これらの多重波として一つの情報を形成する。フラクタル幾何学にも似た感覚があり、自己相似図形による複写、回転、反復といった単純操作によって、一つの複雑で印象的な図形を創り出す。極めて複雑なカオス系も、単純な要素で解析、分解することによって近似することができるという寸法よ。多重自己回帰モデルとでも言おうか。
そして、さらにフーガにフーガを重ねて多重フーガへ。こうなると、もはや原型をとどめえない。純粋な姿を見失い... イデアな形式を見失い... 精神とは、純真な自我を見失った状態を言うのやもしれん。
ダグラス・ホフスタッターは、ゲーデルの論理形式を自己同型群に写像し、これをエッシャーの再帰的な空間原理に透視しながら、バッハのフーガ調で論じて魅せる。なんのこっちゃ？？？
この物語には、「自己言及 vs. メタ言及」という構造的な対位法が暗示されている。そして、"TNT(Typographical Number Theory)" と名付けた命題計算を用いて論理形式の限界を模索する。これが、「字形的数論」ってやつか。
ちなみに、この名は、トリニトロトルエンに因んでいる。そう、TNT 火薬の主成分だ。自己言及にのめりこむと、精神を爆発させるってか。数学屋さんは駄洒落がお好きと見える...
まさにゲーデルが提示した不完全性は、自己言及プロセスによるもの。数理論理学が本質的に抱える矛盾は、ある系がその系自身を記述することに発する。
では、系の外から記述すればどうであろう。上位の系から記述すれば。そう、メタ的な記述である。meta... とは、古代ギリシア語に由来し、「高次の...」や「超越した... 」といった意味合いがある。
ソフトウェア工学にも、メタ言語という概念がある。メインの振る舞いを記述するプログラミング言語に対して、定義や宣言といった上位の視点から記述する言語である。ただ、いずれもマシン語系の違う表現形式に過ぎないのだけど...
自然言語においても、日本語の特徴を英語やドイツ語で記述したり、その逆であったり、相互にメタ的な役割を果たすことで言語学を論じることがある。ただ、あらゆる言語系に対して、自国語で記述する形が一番落ち着くようだけど...
形而上学では、理性のような普遍的な認識原理を形而の上、すなわち、感覚や経験を超越した能力に位置づけ、アリストテレスは、これを第一の哲学とした。そんなものが、本当に形而の上と言えるような大層なものかは知らんが...
概して、人間の認識能力には、メタ的な感覚がある。自分自身を上位に置くような。ある種の優劣主義のような。もっとも、自ら「客観的な視点」と呼んだりもするけど...
そもそも、精神の持ち主が精神について言及すれば、矛盾が生じるのも当然であろう。精神の持ち主ですら、精神の正体を知らないでいるのだから、これほど図々しい行為もあるまい。
精神の構造は物理的には電子運動の集合体ということになろうが、そこに意志なるものが生じるメカニズムについては、最先端科学をもってしても説明できないでいる。自己精神をメタ精神で問い詰めれば、精神状態はもうメタメタよ。
とはいえ、このメタメタ感が心地よいときた。それは、いかようにも解釈できるから。いわば精神の持ち主の特技、精神ってヤツが得体の知れない存在であるがために為せる技。しかも、自己完結できちまう。もはや自己満足では終われず、自己陶酔に自己泥酔、自己肥大に自己欺瞞、おまけに、自己嫌悪に自己否定とくれば、ついに自我を失う。これらすべて自己言及を模した自己同型群か...
確かに、自己啓発や自己実現には自問が欠かせない。自己から距離を置き、自我を遠近法で眺めることによって自己分析を試みる。それで正確な分析がなされるかは知らんが、少なくとも自我を支配した気分になれる。
量子現象にも、似たような視点がある。観測プロセスが、それだ。力学を記述する重要な物理量に、運動量と位置の二つがあるが、観測対象が量子レベルともなれば、観測系が加わることによって、もは純粋な物理系ではなくなる。それは、不確定性原理が告げている。運動量と位置を同時に正確に観測することはできない... と。これも、量子現象を量子によって記述するというある種の自己言及プロセスと言えよう。自己言及に発する不完全性こそが、脳に進化の余地を与えているのやもしれん。だからこそ、論理的思考ってやつをじっくりと培養することができるのやもしれん。
本書は、断言する。「TNT は自分自身を呑み込もうとする... TNT は不完全である...」と。
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