"ベクトル解析30講" 志賀浩二 著

軽快なステップを刻む、数学 30 講シリーズ！
なにごとも理解へのプロセスにはリズムが欲しい。なによりも人生にはリズムが重要だ。おいらは数学の落ちこぼれ。でも楽しい...

抽象数学の空間概念は、加法とスカラー積の定義の仕方で、大方説明がつくであろう。その代表がベクトル空間ってやつで、解析学では避けては通れない。
ちなみに、おいらは解析学を近似法を提案してれる分野と解している。複雑な実社会では、明確な解をじっくりと求めるよりも、手っ取り早く近似した方が実用的なことが多い。実際、現象を記述する微分方程式のほとんどが解けないときた。そして、数学屋さんをハーフボトルで釣って便利屋さんに... 毎度申し訳ないっす！

ここでは、冒頭から微分形式の入門という立場が置かれ、いきなり微分形式アレルギーが疼く...
微分形式といえば、複雑な曲面に対して、各点に局所座標を与えたベクトル空間の集合体のようなもの。もっといえば、ベクトル空間を抽象化したテンソル場を貼り合わせたようなもの、などと勝手にイメージしている。そして、必然的に多様体を相手取ることになると...
実際、複雑系を相手取るには、部分をかき集め、それらを貼り合わせて近似する方が実用的に思える。
ベクトル自体は、極めて単純な概念である。異なる二点と一つの方向が一つのベクトルを決め、異なる二つのベクトルが一つの交点を決める。少なくともユークリッド空間では。
ベクトル単体の関係では直角をなすかどうかが問われ、これを空間レベル、すなわち、ベクトルの集合体で眺めると、双対性や直交性が問われる。こうした性質が、データ圧縮や情報処理の効率性、あるいは演算合理性の布石となるから、ベクトル恐るべし！
そして、外積や内積を導入して空間演算の抽象度を上げていき、お馴染みの多項式代数をテンソル代数から外積代数へ導くという筋書きである。

まず、ベクトル空間の任意の元を、テンソル積によって自由に掛け算ができるような空間全体の系を考える。つまりは、テンソル代数 T(V) の導入であるが、この中に適当なイデアル I を見い出し、商代数 T(V)/I を考えながら、外積代数 E(V) を定義するといった具合に...

  E(V) = T(V)/I

代数といっても、いろいろな代数がある。一つの代数系は、ある演算ルールで定義された枠組みを作る。ただそれだけのこと。次元が違えば代数演算の柔軟性も変わり、可換の代数もあれば非可換の代数もある。
例えば、三次元空間の外積ともなると、X x Y = -Y x X のような奇妙なことが起こる。
代数が次元とともに抽象度を上げていく様相は、ユークリッド空間から非ユークリッド空間への飛躍と重なる。ならば、次元に適した代数が求められ、多様体に適した代数が導入されるのも道理である。

また、内積に計量という概念が結びつけられる。ベクトルを空間レベルで論じるには、加法とスカラー積だけでなく、二つのベクトルがなす角、すなわち位相が重要な意味を持つ。内積はまさに位相を規定し、内積が与えられたベクトル空間は、計量をもつことを意味するらしい。
幾何学的な性質では直交性が重要な役割を持ち、演算をすこぶる単純化してくれるが、ベクトル空間では、演算の単純化と同時に計量の合理性が問われることになる。
そして、内積によって基底と双対性の最も整合性のとれた正規直交基底なるものが論じられる。おまけに、リーマン計量が与えられる条件まで言及され...

複雑な空間を、微分可能なベクトル空間の貼り合わせという視点から眺めると、微分可能回数で定義される C¹-級, C²-級, ... , C^∞-級へと抽象度を上げていく。おいらが実際に扱うヤツは、ベキ級数展開ができたり、テイラー展開のできるクラスで十分だけど...
そして、このあたりは、やはり外せないと見える。グリーンの公式に、コーシーの積分定理に、ガウスの定理に、ストークスの定理に... そう、電磁気学でおいらを赤点に貶めた奴らだ！

グリーンの公式を一つ眺めると...
閉領域 D において、2変数関数 P(x,y), Q(x,y) を C¹-級と仮定する。
それは、∂P/∂x, ∂P/∂y, ∂Q/∂x, ∂Q/∂y がすべて連続であることを意味し、境界曲線 C との間に以下の関係が成り立つ。

∬D

(

∂Q ∂x

-

∂P ∂y

)

dxdy =

∫C

(Pdx + Qdy)

これは、面積 D の積分が、周 C の積分と等価であることを示している。
例えば、湖の面積を求めるには、湖の周囲に沿って積分すれば、おおよその値が得られるという寸法よ。
注目したいのは、変数をそれぞれ偏微分して、それを足し合わせるというシンプルな形をしていることである。それは、C^∞-級の関数を仮定したとしても、偏微分する順番に関係なく表されることを予感させる。
となれば、現象を解析する上で、まず、いかに適確な変数を抽出することができるかが鍵となる。変数が抽出できたからといって、微分方程式が解けるわけではないけど...
そして、こうした考えの抽象度を上げていけば、コーシーの積分定理、ガウスの定理、ストークスの定理が見えてくる。つまり、ずっと忌み嫌ってきた奴らは、貼り合わせの積分法であり、現実的な近似法を与えてくれるような風景が...
単純な見方といえばそうなのだが、学生時代には見えなかった風景である。おいらにとっては、微分可能かということより、局所座標を貼り合わせていかに近似するかの方に興味があるが、結局は同じ事というわけか。講義のリズムのおかげで、微分形式アレルギーも少し弱まりつつある今日このごろであった...