理解へ至るプロセスには、リズムが欲しい。人生を生きる上でも...
30 ものステップで軽妙なリズムを奏でる数学 30 講シリーズ。だが、そのリズムも、ここへきて息切れ気味。抽象数学の難解さの一因に、幾何学的な空間概念を代数的な数式で完全に記述しようとするところがある。ルベーグ積分などは、そうした一つ。積分では、アルキメデス以来、ずっと空間的思考が駆使されてきたが、これを放棄すれば、人間の直観に反する。
さらに要因を挙げるなら、用語の扱いにも馴染めないものがある。固有値問題は、まさにそれだ。そもそも固有値ってなんだぁ？ドイツ語の "eigen" に由来し、固有や特有といった意味があるらしい。定義そのものは単純だ。線形変換 A に対して、ベクトル x とスカラー λ が存在する時、次式が成り立つというもの。
Ax = λx
この時、λ が固有値、x が固有ベクトルと呼ばれる。ただそれだけのこと。こうした視点は、ある線形空間がベクトル操作によって別の線形空間に再マッピングできる仕掛けが暗示され、画像処理システムなどの設計で欠かせない思考法となる。線形変換を行列式で記述すれば連立方程式と等価になり、ベクトルと線形代数の組み合わせで空間概念がぐっと拡がる。
しかしながら、こうした空間概念を一般化して無限次元にまで高めようとすると、空間そのものが見えなくなっていく。数学とは、何事も一般化し、抽象化し、物事の普遍性、すなわち、真理を暴こうとする分野で、その根底には宇宙法則を暴くという野心がある。野心が人を盲目にさせ、空間を見失わせるのか。人間が思い描く空間感覚なんてものは、精神空間に描写される虚像のようなものなのか。そもそも真理なんてものは、人間の直観に反するのやもしれん...
ついでに言うなら、「作用素」という用語にも違和感がある。本書は、こうした用語を少しばかりほぐしてくれる。今まで写像や関数と呼んでいたものに対して、固有の性質という視点を与え、さらに、射影作用素や随伴作用素、あるいは、エルミート作用素やユニタリ作用素などが、元に対してどのように作用するかという視点で眺めると、ずっと受け入れやすい。それでも用語に振り回され気味だけど...
理解へのプロセスには、まず用語の定義を自分の感覚で捉えること！今更ながら、こんなことを改めて思い知らされる今日このごろであった...
言うなれば、幾何学は空間を直観的に図式する世界、代数学は等式で関係を記述する世界、解析学は不等式で関係を記述して極限を求める世界。これらの思考世界は別々に歩みながら、問題の抽象化とともに共通点を見い出し、合流してきた。代数学と解析学の合流では関数解析学という一分野を形成するに至ったが、その契機となったのが固有値問題だという。
数学の落ちこぼれは、本書をこんな感じで眺めている...
まず、代数学の立場には、基本定理がある。
「複素係数の n 次の代数方程式 zn + a1zn-1 + ... +an-1z + an = 0
は、必ず(重解も含めて) n 個の複素数の解をもつ。」
この基本的な立場は、ベクトル空間をいくら抽象化しても変わらない。ベクトル空間を加法とスカラー積を持つ集合として眺めれば、加法と乗法に注目すればいい。線形写像を行列式で表記すれば、たいていの場合、対角化できそうだ。そして、鍵となる概念が、内積と直交分解である。... といった具合に。
例えば、ヒルベルト空間は、まさに内積空間であり、「完備性」と「可分性」を具えている。
完備性ってやつも、なかなか手ごわい用語だが、ここでは単にコーシー列を思い浮かべればよさそうだ。つまり、数列が収束するってことを。
可分性は、可算個の元からなる稠密な集合であるってこと。
これらの性質は、そんなに難しくはないが、連続関数列がスペクトル分解に至ると波動力学への道筋が見えてくる。ここに、行列力学と波動力学が結びつこうとは...
この点で興味深いのが、「2乗可積な関数」ってやつだ。
閉区間 I=[a, b] において、ルベーグ測度に関して可測な複素数値関数 f(t)で、以下の条件を満たす場合、
| ∫ | b a |
|f(t)|2 dt < +∞ |
これが、2乗可積な関数ってやつで、ベクトル空間の構造を持つ。
そして、次式を内積として採用すると、ヒルベルト空間になるという。この空間を L2(I) と表す。
| f(g, t) = | ∫ | b a |
f(t) | g(t) |
dt |
予め、これとは別に、l2-空間もヒルベルト空間であることが示され、l は任意の自然数でもええってさ。
つまり、ヒルベルト空間という論理的な視点で眺めると、連続的な関数列で構成される L2(I) と離散的な数列で構成される l2-空間が、同じ構造だと言っているのである。なんとも狐につままれたようで、今宵も眠れそうにない...
「抽象性によってとり出された論理的な構造の単一性と、それを具象化することにより得られた数学的対象の示す多様性との対照は、このヒルベルト空間では特に著しい。数学者は、L2(I) と、l2-空間をじっと見ながら、この彼方に浮かび上がる共通の論理の骨組を捉え、凝視しようと努めるのである。... だが、この場所を凝視しているのは、単に数学者だけではない。物理学者もまた量子力学から生ずるさまざまな現象の奥に、同じ場所を見ているのである。実際、量子力学の数学的基礎づけは、抽象的なヒルベルト空間の論理の枠の中で達成された。このとき、L2-空間への実現は波動像となり、l2-空間への実現は、粒子像と解釈されたのである。」
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